Spazio vettoriale simplettico

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In algebra lineare, uno spazio vettoriale simplettico è uno spazio vettoriale reale ${\displaystyle V}$ di dimensione pari dotato di una funzione

${\displaystyle \omega :V\times V\to \mathbb {R} }$

tale che, per ogni ${\displaystyle v,v',w,w'}$ in ${\displaystyle V}$ e per ogni ${\displaystyle \lambda ,\mu }$ in ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \omega (\lambda v+\mu v',w)=\lambda \omega (v,w)+\mu \omega (v',w)}$

${\displaystyle \omega (v,\lambda w+\mu w')=\lambda \omega (v,w)+\mu \omega (v,w')}$

${\displaystyle \omega (v,v)=0}$

${\displaystyle \omega (v,w)=0}$ per ogni ${\displaystyle w}$ implica ${\displaystyle v=0}$

In altre parole, ${\displaystyle \omega }$ è una forma bilineare antisimmetrica non degenere, detta prodotto antiscalare o simplettico. Lo spazio ${\displaystyle V}$ munito della forma ${\displaystyle \omega }$ si dice anche munito di struttura simplettica.

Fissata una base, ${\displaystyle \omega }$ si può rappresentare secondo una matrice di trasformazione che dovrà essere necessariamente antisimmetrica e non singolare. La dimensione dello spazio è necessariamente pari perché si dimostra che non esistono matrici antisimmetriche invertibili di dimensione dispari. Infatti, sia ${\displaystyle M}$ la matrice di dimensione ${\displaystyle m\times m}$ , con ${\displaystyle m=\dim V}$,che rappresenta la forma bilineare ${\displaystyle \omega }$ in un qualche base, ovvero

${\displaystyle \omega (u,v)=u^{\text{T}}Mv\qquad \forall \ u,v\in V}$

Allora, dal momento che la forma ${\displaystyle \omega }$ è antisimmetrica anche ${\displaystyle M}$ lo sarà e dunque

${\displaystyle \det W=\det W^{\text{T}}=(-1)^{m}\det W}$

dove nella prima uguaglianza si è usata la formula di Binet. Dal momento che ${\displaystyle W}$ è invertibile vale ${\displaystyle \det M\neq 0}$, e quindi dalla precedente espressione si evince che ${\displaystyle m=2n}$, e quindi la dimensione dello spazio simplettico è necessariamente pari.